Turunan Fungsi Trigonometri – Trigonometri bisa dibilang menjadi salah satu materi yang cukup sulit dalam pelajaran matematika. Alasannya trigonometri memiliki rumus yang terlihat rumit. Selain itu cakupan pembahasan trigonometri juga luas.
Ada identitas trigonometri fungsi trigonometri, hingga turunan trigonometri. Masing-masing materi ini memiliki rumus yang berbeda-beda. Sehingga kita perlu mencermati betul-betul supaya tidak sampai salah rumus.
Sebelumnya kami sudah membahas mengenai identitas trigonometri dan limit fungsi trigonometri. Dalam pembahasan tersebut kami juga sudah membahas apa itu trigonometri.
Untuk mengingat kembali, trigonometri adalah suatu cabang dalam matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga. Contohnya adalah sinus, cosinus dan tangen.
Dalam materi trigonometri sendiri juga terdapat istilah turunan trigonometri. Ada rumus tersendiri untuk materi ini, begitu juga dengan soalnya yang tak sama. Sebelumnya mari kita bahas mengenai apa itu turunan trigonometri.
Baca juga: Identitas Trigonometri
Pengertian Turunan Trigonometri
Turunan trigonometri adalah turunan dari fungsi sinus dan kosinus yang diperoleh dari dari konsep limit atau persamaan turunan yang nantinya melibatkan fungsi-fungsi trigonometri. Antara lain sin, cos, tan, cot, sec, dan csc.
Sebelumnya Anda harus mengetahui bagaimana pola turunan trigonometri. Berikut adalah pola turunan trigonometri:
Jika y = sin x maka y’ = cos x
Jika y = cos x maka y’ = -sin x
Rumus Turunan Fungsi Trigonometri
Sebenarnya ada banyak soal yang diselesaikan namun tidak bisa menggunakan rumus trigonometri. Maka dari itu kita membutuhkan rumus turunan trigonometri untuk memecahkan soal tersebut.
Akan tetapi sebelum membahas pemecahan soal tentang turunan fungsi trigonometri, ada beberapa turunan dasar trigonometri yang perlu Anda ketahui. Berikut adalah turunan dasar trigonometri yang bisa Anda cermati:
Jika f (x) = sin x → f ‘(x) = cos x
Jika f (x) = cos x → f ‘(x) = – sin x
Jika f (x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
Jika f (x) = cot x → f ‘(x) = -csc2x
Jika f (x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
Jika f (x) = csc x → f ‘(x) = – csc x . cot x
Rumus di atas masih bisa diperluas dalam dua perluasan. Perluasan rumus turunan fungsi trigonometri yang pertama adalah dengan permisalan u untuk turunan x. Misalnya u adalah fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, di mana u merupakan turunan u terhadap x, maka:
Jika f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u. u’
Jika f (x) = cos u → f ‘(x) = -sin u. u’
Jika f (x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
Jika f (x) = cot u → f ‘(x) = -csc2 u . u’
Jika f (x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
Jika f (x) = csc u → f ‘(x) = -csc u cot u . u’
Lalu ada juga perluasan rumus turunan fungsi trigonometri kedua. Turunan fungsi trigonometri selanjutnya adalah turunan dari fungsi-fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax + b dimana a dan b adalah bilangan real dengan a tidak sama dengan 0. Berikut turunan yang bisa Anda pelajari.
Jika f(x)= sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
Jika f(x)= cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
Jika f(x)= tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
Jika f(x)= cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
Jika f(x)= sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
Jika f(x)= csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)
Contoh Soal
Turunan pertama dari f (x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘(x) =
35 sin (5 – 3x)
-15 (5 – 3x)
Jawab :
Ingat
f (x) = a.cos (bx + c) maka f ‘(x) = -ab . sin (bx + c)
maka
f (x) = 7 cos (5 – 3x)
f’ (x) = -7 . (-3) . sin (5 – 3x)
f’ (x) = 21 sin (5 – 3x)
Ada juga contoh soal kedua yang bisa menjadi tambahan agar Anda semakin mudah mengerti tentang turunan trigonometri.
Contoh soal kedua yaitu :
Jika f ‘(x) merupakan turunan dari f (x) dan jika f (x) = (3x – 2) sin (2x + 1) maka f ‘(x) adalah :
- 3 cos (2x + 1)
- 6 cos (2x + 1)
- 3 sin (2x + 1) + (6x – 4) cos (2x + 1)
- (6x – 4) sin (2x + 1) + 3 cos (2x + 1)
- 3 sin (2x + 1) + (3x – 2) cos (2x + 1)
Jawab :
Diketahui bahwa
F (x) = (3x – 2) sin (2x + 1)
Kita misalkan dulu,
U = 3x – 2 maka u’ = 3
U = sin (2x + 1) maka u’ = 2 cos (2x + 1)
Ingat bahwa rumusan turunan perkalian dua fungsi sebagai berikut :
F’ (x) = u’ . u + u’ . u
F’ (x) = 3 . sin (2x + 1) + 2 cos (2x + 1) . (3x – 2)
F’ (x) = 3 sin (2x + 1) + (6x – 4) cos (2x + 1)
Sebagai tambahan, untuk menjawab soal-soal turunan fungsi trigonometri sederhana, kita masih bisa memanfaatkan rumus dasar. Hanya saja untuk soal yang lebih rumit kita perlu memakai aturan rantai. Aturan rantai pada turunan fungsi trigonometri prinsipnya saja seperti aturan rantai pada turunan fungsi aljabar.
Supaya kita bisa memakai aturan rantai, kita harus memahami konsep dasar turunan fungsi trigonometri dan juga konsep-konsep trigonometri. Sebab dalam beberapa kasus kita perlu mengubah fungsi trigonometri ke bentuk lain yang lebih sederhana. Biasanya lantaran kurang paham bentuk-bentuk trigonometri, kita melewati soal-soal turunan. Padahal soal tersebut sebenarnya tidak terlalu sulit.
Aturan rantai biasanya digunakan untuk menjawab soal turunan fungsi yang berpangkat. Sebagai gambaran, ada beberapa aturan rantai untuk turunan fungsi trigonometri. Seperti Aturan rantai umum, fungsi sinus, dan juga fungsi cosinus.
Baca juga: Limit Fungsi Trigonometri
Demikian pembahasan mengenai rumus turunan trigonometri. Walaupun rumus pada materi ini terlihat sulit, bukan berarti soal turunan trigonometri sulit untuk diselesaikan. Kita butuh pemahaman ekstra supaya bisa lebih mudah menerima materi turunan trigonometri.
Setelah mengetahui rumus dan contoh soalnya, Anda juga bisa terus berlatih menyelesaikan soal-soal turunan trigonometri yang lainnya. Semakin banyak soal yang berhasil kita kerjakan, kita bisa memahami bagaimana konsep turunan trigonometri ini. Semoga pembahasan soal rumus turunan trigonometri di atas dan contohnya bisa bermanfaat untuk Anda. Terutama jika Anda tengah mencari materi ini.
