Rumus Logika Matematika – Pada kesempatan kali ini, kami akan memberikan pembahasan mengenai logika matematika. Mungkin sebagian pembaca sudah mengetahui apa itu logika matematika. Jika belum tak perlu bingung, kami sertakan juga definisi logika matematika.
Pembahasan juga meliputi hukum logika, ingkaran atau negasi, pernyataan kuantor, pernyataan majemuk, konvers, invers, kontraposisi, penarikan kesimpulan logika matematika hingga contoh soal.
Pengertian Logika Matematika
Logika matematika adalah sebuah cabang logika dan matematika yang mencakup sebuah kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berkaitan erat dengan bidang ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika ini yakni sebuah kekuatan ekspresif dari logika dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.
Logika matematika tersebut biasanya dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori rekursi, teori model, teori pembuktian dan teori matematika konstruktif. Untuk dicatat, bidang-bidang ini masing-masing memiliki hasil dasar logika yang mirip.
Baca juga: Cara Menghitung Persen Dengan Mudah
Hukum Logika
Ada beberapa hukum logika yang bisa kita pelajari. Berikut akan kami bahas satu per satu.
- Hukum komutatif:
- p∧q ≡ q∧p
- p∨q ≡ q∨p
- Hukum asosiasi:
- (p ∧ q) ∧ r sama dengan p ∧ (q ∧ r)
- (p ∨ q) ∨ r sama dengan p ∨ (q ∨ r)
- Hukum distributif:
- Apabila p∧(q∨r) maka sama dengan (p∧q)∨(p∧r)
- Apabila p∨(q∧r) maka sama dengan (p∨q)∧(p∨r)
- Hukum identitas:
- p ∧ B ≡ p
- p ∨ S ≡ p
- Hukum ikatan:
- p ∧ S ≡ S
- p ∨ B ≡ B
- Hukum negasi:
- p ∧ ~p ≡ S
- p ∨ ~p ≡ B
- Hukum negasi ganda:
- ~(~p) ≡ p
- Hukum idempotent:
- p ∧ p ≡ p
- p ∨ p ≡ p
- Hukum De Morgan:
- ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
- Hukum penyerapan:
- p ∧ (p ∨ q) ≡ p
- p ∨ (p ∧ q) ≡ p
- Negasi B dan S:
- ~B ≡ S
- ~S ≡ B
- p → q ≡ ~p ∨ q
- p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)
Dalam logika matematika, ada cara untuk menentukan nilai dari suatu pernyataan, baik yang bernilai benar maupun bernilai salah. Pernyataan ini terbagi menjadi 2 macam.
Pernyataan Tertutup (Kalimat Tertutup)
Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang telah mempunyai nilai benar atau salah.
Contoh:
“5 merupakan bilangan genap”. Kalimat itu bernilai salah sebab yang benar adalah “5 merupakan bilangan ganjil”.
Pernyataan Terbuka (Kalimat Terbuka)
Pernyataan terbuka adalah suatu pernyataan yang belum bisa ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.
Contoh logika matematika:
Ingkaran atau Negasi dari Suatu Pernyataan
Ingkaran atau negasi adalah kebalikan dari suatu pernyataan itu sendiri, dimana saat suatu pernyataan bernilai benar maka negasinya bernilai salah. Dan ketika suatu pernyataan bernilai salah, maka negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan p dilambangkan dengan simbol ~p.
Pernyataan Kuantor
Pernyataan kuantor adalah bentuk logika matematika berupa pernyataan yang mempunyai kuantitas. Di dalam pernyataan kuantor umumnya ada kata semua, seluruh, setiap, ada, beberapa dan sebagian.
Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua dan setiap termasuk dalam kuantor universal. Sedangkan kata-kata yang senilai dengan sebagian, ada, beberapa dan adalah termasuk dalam kuantor eksistensial. Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.
Misal:
p : semua orang adalah sarjana (kuantor universal)
~p : sebagian orang adalah tidak sarjana
Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya
Pernyataan majemuk dalam ilmu matematika adalah beberapa pernyataan yang bisa dibentuk menjadi satu pernyataan dengan memakai kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika, dan hanya jika.
Dalam logika matematika kata hubung itu masing-masing mempunyai lambang dan istilah yang berbeda. Simak tabel di bawah ini.
Tabel Kebenaran Konjungsi
Berdasarkan tabel di atas bisa kita ketahui bahwa sifat dari konjungsi adalah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari pernyataan majemuk keduanya bernilai benar.
Tabel Kebenaran Disjungsi
Berdasarkan tabel di atas, bisa kita simpulkan bahwa sifat dari disjungsi adalah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari pernyataan majemuk keduanya bernilai salah.
Tabel Kebenaran Implikasi
Untuk sifat implikasi, p ⇨ q, suatu p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Maka pada implikasi ini akan menghasilkan nilai salah saat konklusi salah dan hipotesa benar.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
Pada sifat biimplikasi, sebuah pernyataan majemuk memiliki nilai benar jika kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar ataupun keduanya salah.
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologi merupakan pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada. Sedangkan kontradiksi merupakan kebalikannya, yakni pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.
Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk yang mempunyai nilai sama untuk semua kemungkinannya disebut dengan istilah ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam logika matematika adalah “≡”.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen, yakni:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konvers, invers dan kontraposisi merupakan bentuk lain dari implikasi. Berikut adalah penjelasannya masing-masing.
Penarikan Kesimpulan Logika Matematika
Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling berhubungan. Dalam penarikan kesimpulan tersebut terdiri dari beberapa cara, yakni:
Contoh Soal
Soal 1:
Premis 1 : Apabila Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulannya dari kedua premis diatas yaitu ….
Jawab:
Premis 1 : p → q
Premis 2 : p
Kesimpulan : q (modus ponens)
Maka, kesimpulannya ialah Andi juara kelas.
Soal 2:
Premis 1 : Apabila hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2 : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas yaitu ….
Jawab:
Premis 1 : p → q
Premis 2 : ~ q
Kesimpulan : (modus tollens)
Maka, kesimpulannya ialah hari tidak hujan.
