Barisan Dan Deret Geometri, Rumus dan Contoh Soal Lengkap


Rumus Deret Geometri – Ketika anda belajar matematika saat di bangku SMA, terdapat dua macam barisan dan deret yaitu aritmetika dan geometri. Untuk anda yang ingin belajar lebih jauh mengenai barisan dan deret, disini saya akan mengajak anda untuk belajar dan mengenal lebih jauh mengenai barisan dan deret geometri.

Apa itu Geometri? mungkin anda sudah tahu, Geometri merupakan  sebuah cabang matematika yang bersangkutan dengan mempelajari tentang hubungan antara titik – titik, garis – garis, bidang – bidang, bentuk, ukuran, posisi relatif gambar, sifat ruang, serta bangun datar dan bangun ruang.

Perlu anda ketahui bahwa pada barisan geometri, susunan bilangan yang dibentuk antara satu bilangan ke bilangan selanjutnya mempunya rasio yang sama. Rasio merupakan perbandingan antara dua suku berurutan pada barisan geometri. Apabila rasio lebih dari nol (r > 0) maka barisan tersebut adalah barisan naik. Namun bila rasio kurang dari nol (r < 0) maka barisan tersebut adalah barisan turun. Nah, untuk lebih jelasnya mari langsung saja simak penjelasan lebih lanjut mengenai deret geometri di bawah ini.

Baca juga: Cara Menghitung Nilai Rata Rata

Unsur Unsur Geometri

Banyak sekali unsur Geometri, namun hanya dibagi menjadi 3 yang utama yakni  :

  • Pertama, Titik adalah sebuah tempat (posisi) dalam ruang (space), serta memiliki panjang dan tidak memiliki tebal.
  • Kedua, Garis adalah himpunan titik – titik yang memiliki panjang dan tidak memiliki lebar.
  • Ketiga, Bidang adalah sebuah permukaan dimana suatu garis yang menghubungkan 2 titik pada permukaan tersebut.

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri atau yang di istilahkan sebagai “barisan ukur” ialah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku yang sebelumnya dan berurutan yaitu bernilai konstan. Contoh barisan geometri tersebut adalah a,b dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil suku yang berdekatan tersebut, disebut sebagai rasio barisan geometri (r). Misalkan, anda mempunyai sebuah deretan geometri :

U1, U2, U3,……..Un-1, Un
Maka. U2/U1 = U3/U2 = U4/U3=….Un/Un-1 = r (konstan).

Kemudian, bagaimana cara menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri?

Contoh :

U3/U2   =  r maka U3 = U2.r = a.r.r = ar2
U4/U3   =  r maka U4 =U3.r =  a.r2.r = ar3  sejalan dengan
Un/Un-1= r makan Un= Un-1.r = arn-2.r = arn-2+1 = arn-1

Jadi, dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan :

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan : Un =  arn-1
Dengan a adalah suku awal dan r adalah rasio barisan geometri

Contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = arn-1 = 1/8 2(10-1) = 1/8 . 29 = 2-3.29 = 26 = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = (1 jam/ 6 menit) + 1 = 11 –> menit juga dimasukkan
Un = arn-1
U10 = 2.211-1 = 210 = 1024 buah amoeba.

Pengertian Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari suatu barisan geometri bisa ditentukan dengan cara :

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 +… + arn-2 + arn-1 + arn    (keduanya dikurangkan)
———————————————————————————
Sn – rSn = a – arn
Sn (1-r) = a (1-rn)
Sn = a  (1-rn)/ (1-r)

Dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio barisan geometri.

Contoh soal

Tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a  (1-rn)/ (1-r) = 1 (1-36) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

Pada sebuah barisan geometri  dikenal dengan adanya sisipan. Misalnya di antara p dan q anda sisipkan k buah bilangan dan terjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri yaitu :

Suku Tengah Barisan Geometri

Jika U1, U2, U3 … Un adalah sebuah barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan  geometri tersebut yaitu :

Deret Geometri Tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berapa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? Itu adalah contoh dari deret geometri tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga  ada kemungkinan hingga tau tak hingga.

Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut deret divergen.

Baca juga: Cara Menghitung Logaritma

Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hingga disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret rasio (r) rumus
divergen r ≥ 1 atau r ≤ 1 s = ∞
konvergen -1< r < 1 s = a/ 1-r

Contoh Soal

Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….

Jawab

a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2

Advertisement

Leave a Comment